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Der Wunschpunsch

Klein-Mäxchen legt sein Buch zur Seite. Unzählige Male hat er es bereits gelesen und doch wird es ihm nie zu langweilig immer und immer wieder darin zu schmökern. Er hat lange gebraucht um den Titel des Buches auswendig zu lernen: ‚Der satanarchäolügenialkohöllische Wunschpunsch‘ von Michael Ende. Am Anfang hat er sich jedesmal gefürchtet, wenn der Geheime Zauberrat Beelzebub Irrwitzer versuchte, seine bösen Taten für dieses Jahr zu vollenden. Doch inzwischen kann er nur noch über diesen Möchtegern-Zauberer lachen. Nur Made – Maledictus Made – im Auftrag Seiner Höllischen Exzellenz schafft es immer wieder, einen Schauer über seinen Rücken laufen zu lassen. Aber ins Bett seiner Eltern klettert Klein-Mäxchen wegen ihm schon lange nicht mehr. Fasziniert blickt er auf die Rückseite des Buches, wo eine Kuckucksuhr abgebildet ist. Es ist aber keine normale Uhr, nein, denn statt dem Kuckuck kommt ein Hammer und ein Finger aus der Uhr. Der Hammer schlägt auf den Daumen. Dazu ertönt ein schauerliches ‚Aua, aua, aua‘.

Aber halt, was ist rechts daneben? Mäxchen ist noch nie aufgefallen, dass auf dem Buch eine Nummer steht. ISBN 3 522 16610 8. Was soll das denn? Schnell schaut er auf andere Bücher, alle haben so eine Nummer. Mäxchen rennt zu seinem Vater und ruft ihm aufgeregt ins Ohr: ‚Papa, Papa, hast du schon gesehen, die haben da alle Zahlen drinnen?‘ ‚Immer mit der Ruhe, wer hat wo Zahlen stehen?‘ ‚Na, die Bücher natürlich!‘ ‚Ach so. Das sind die Seitenzahlen.‘ ‚Nein, so klein bin ich auch wieder nicht! Ich meine diese da.‘ ‚Diese Nummer nennt man ISBN, die haben alle Bücher.‘ ‚Und für was sind die?‘ ‚Na ja, heutzutage wird alles mit Zahlen gemacht, das ist für die Computer einfacher und eindeutiger. Auf Deinem Kinderausweis steht zum Beispiel eine Zahl, die nur auf Deinem Ausweis steht, auf den Lebensmittelverpackungen stehen auch ähnliche Zahlen. Und in diesen Zahlenkombinationen stecken auch Informationen drin, aus welchem Land das Produkt kommt oder in welcher Sprache das Buch ist, und noch viel mehr.‘ ‚Das heißt, aus dieser Nummer hier, 40 01497 69090 9 auf der Verpackung von Hohes C kannst du erkennen, woher es kommt?‘ ‚Nicht nur ich, du auch!‘ ‚Wie denn?‘ Und Mäxchens Vater erklärt es ihm: Die ersten beiden Zahlen stehen für das Herkunftsland. 40, 41, 42, 43 stehen für Deutschland, 00-09 stehen für die USA und Kanada. Das Hohe C wurde also in Deutschland hergestellt. An den nächsten fünf Ziffern erkennt man die Herstellerfirma. 01497 steht demnach für Eckes-Granini Deutschland GmbH. Und die Ziffern acht bis zwölf sind die firmeninternen Produktbezeichnungen.

Klein-Mäxchen überlegt und läßt sich die Aufteilung noch einmal erklären. ‚Aber Papa, das sind doch dreizehn Zahlen und nicht zwölf‘, wendet er ein. ‚An der letzten Zahl kann man erkennen, ob ein Fehler aufgetreten ist.‘ ‚Wie denn das?‘ ‚Mmmhh, ich weiß nicht, ob du das jetzt schon verstehen würdest.‘ ‚Aber du sagst doch immer, dass, wenn jemand etwas nicht versteht, es an dem liegt, der erklärt.‘ ‚Ja schon, aber…‘ ‚Nix aber, ich will es jetzt wissen.‘ ‚Na gut, versuchen wir es.‘ Der Vater von Mäxchen holt ein Blatt Papier und schreibt die Nummer der Getränkepackung ab. Diese Nummer nennt man EAN (Europäische Artikelnummerierung). Nur die letzte Zahl lässt er weg. Um die einzelnen Ziffern unterscheiden zu können, werden sie mit unterschiedlichen Zahlen multipliziert. Diese Zahlen werden ‚Gewichte‘ genannt. In diesem Fall sind es die Zahlen 1 und 3, die wir darunter schreiben:

EAN 4 0 0 1 4 9 7 6 9 0 9 0
Gewichte 1 3 1 3 1 3 1 3 1 3 1 3
Produkt 4 0 0 3 4 27 7 18 9 0 9 0

Das Produkt wird addiert und man bekommt die Zahl 4+0+0+3+4+27+7+18+9+0+9+0=81. ‚Bor, wenn man das jedesmal macht, dauert das aber lange!‘ ‚Na ja, wenn das ein Mensch machen müsste ja, aber das machen die Kassen für uns, die können das ganz schnell.‘ ‚Und für was ist jetzt die letzte Ziffer?‘ Habt ihr es schon herausgefunden? Wenn nicht, es ist ganz einfach: Die letzte Zahl ist die fehlende Differenz von der Summe (hier 81) bis zu nächsten Zehnerzahl (hier 90). Und da 90 minus 81 ohne Zweifel 9 ergibt, sollte die letzte Zahl, die sogenannte Prüfziffer, 9 sein.

Schauen wir uns die EAN vom Hohen C noch einmal an: 40 01497 69090 9. Und tatsächlich, es stimmt. Klein-Mäxchen ist ganz begeistert: ‚Toll! Mit den Maoam’s hier müsste es doch ganz genauso funktionieren, oder?‘ ‚Ja natürlich, das funktioniert mit allen Artikeln. Schau her, die ersten Ziffer sind 40, also ist auch hier wieder der Produktionsort Deutschland.‘ Klein-Mäxchen jongliert eifrig mit den Zahlen, ohne Taschenrechner ist es wirklich nicht so einfach. Die Summe ist 79 und tatsächlich, die letzte Ziffer lautet 1. Nachdem er die halbe Küche addiert und multipliziert hat, greift er zum Buch und rechnet auch hier alles zusammen. Aber nicht nur, dass die Nummer hier nicht aus zwölf sondern aus zehn Ziffern besteht, das Ergebnis ist auch noch falsch. Ganz enttäuscht wendet er sich an seinen grinsenden Vater: ‚Wieso funktioniert denn das hier nicht?‘ ‚Die Nummern auf den Büchern werden etwas anders zusammengerechnet und die Ziffern haben eine etwas andere Bedeutung. ISBN bedeutet Internationale Standardbuchnummer und besteht nur aus zehn Ziffern. Die erste oder die ersten beiden Ziffern stehen für das Sprachgebiet. Zum Beispiel: 0 oder 1 für englisch, 2 für französisch, 3 für deutsch, 88 für italienisch. Der zweite Teil bezeichnet den Verlag im jeweiligen Sprachgebiet, der dritte die verlagsinterne Buchnummer. Die letzte Ziffer ist wieder die Prüfziffer.‘ ‚Und wie rechnet man denn jetzt die Zahlen zusammen?‘ ‚du schreibst Dir die Zahlen wieder auf, lässt auch wieder die letzte Ziffer weg. Nur musst du diesmal als Gewichte die Zahlen 10 bis 2 benutzen.‘ Der Vater nimmt ein neues Blatt und schreibt die Nummer von Michael Endes Buch ab:

ISBN 3 5 2 2 1 6 6 1 0
Gewichte 10 9 8 7 6 5 4 3 2
Produkt 30 45 16 14 6 30 24 3 0

Jetzt greift er aber doch zum Taschenrechner. ‚Aber Papa!‘ ‚Na ja, geht schneller, später darfst du das auch machen. So, die Summe ist 30+45+16+14+6+30+24+ 3+0=168. Jetzt geht es leider nicht mehr so einfach, da haben uns die Computer etwas voraus. Denn jetzt muss man wissen, was die nächste Elferzahl ist. Das müsste 16*11=176 sein. Und jetzt müssen wir wieder schauen, wieviel wir von der 168 bis zur 176 brauchen, nämlich 8. Und tatsächlich ist die letzte Ziffer der Buchnummer die Acht.‘ Mäxchen ist nicht mehr ganz so erfreut und mault: ‚Wieso denn so umständlich?‘ ‚Das liegt daran, dass der EAN-Code nicht ganz so gut ist wie der ISBN-Code.‘ ‚Ich finde aber den anderen besser!‘, beschwert sich Klein-Mäxchen. ‚Ja, weil du ihn besser berechnen kannst. Aber du darfst nicht vergessen, dass die Computer damit keine Probleme haben.

Der Code für die Lebensmittel kann zwar alle Einzelfehler erkennen, z.B. wenn eine Acht statt einer Null eingelesen wird. Aber nicht alle Vertauschungsfehler können aufgedeckt werden. Wenn auf einer Verpackung unter anderem die Acht und die Drei stehen, aber sie werden vertauscht, wird der Fehler nicht erkannt.‘ ‚Wieso das denn nicht?‘ ‚Je nachdem, wo die beiden stehen, wird 3*8+1*3=27 gerechnet, es hätte aber lauten müssen: 1*8+3*3=17. Das sind zwar zwei verschiedene Zahlen, aber bei diesem Code kommt es nur auf die letzte Ziffer an, und die ist gleich. Das betrifft die Zahlenpaare 0 5, 1 6, 2 7, 3 8 und 4 9.‘ ‚Das ist ja doof gemacht. Wenn die Kasse also die Zahlen vertauscht, wird das nicht immer erkannt. Mmmhh, kann eine Kasse überhaupt Zahlen vertauschen? Ich meine, die falsche Zahl einzulesen, ja. Aber vertauschen?‘ ‚Genau deswegen ist der Code für die Artikelnummerierung doch nicht so schlecht. Der ISBN-Code kann aber jeden Einzel- und Vertauschungsfehler entdecken. Hier ist das auch nötig, da die ISBN auch von Menschen benutzt werden. Gerade in Deutschland passieren die Vertauschungsfehler häufig, weil wir zwar dreiundvierzig sagen, aber 43 schreiben.‘ ‚Was passiert eigentlich, wenn mehrere Fehler gleichzeitig passieren, wird das auch bemerkt?‘ ‚Nicht unbedingt, wenn die Fehler ungünstig entstehen, kann es sein, dass sie nicht bemerkt werden.‘ Mäxchen nickte etwas müde, stand auf und verschwand in sein Zimmer. Er nahm sich ein neues Buch, aber schon nach wenigen Minuten schlief er ein. Mit einem Lächeln auf dem Gesicht träumte Klein-Mäxchen von Maledictus Made, der von EAN- und ISBN-Codes erbarmungslos gejagt wird.

Wie ihr seht, sind Codes nicht nur zum Verschlüsseln gut, sondern auch um Fehler in der Nachrichtenvermittlung aufzudecken und zu verbessern. (So ein Fehler entsteht auch, wenn die Nachricht mit Absicht von Fremden verändert worden ist.) Zwar können die oben vorgestellten Codes keine Fehler verbessern, da dies für ihre Aufgaben nicht unbedingt nötig ist. Manchmal ist es zu aufwendig, bei einem Fehler die Nachrichtenübertragung zu wiederholen. Bei der Bildübermittlung von Satelliten (z.B. Bilder vom Mars) ist es sogar sehr wahrscheinlich, dass Fehler auftreten. Hier benutzt man Codes, um möglichst viele Fehler mit möglichst wenigen Prüfziffern zu erkennen und auszubessern.

Gerade in der heutigen Zeit, wo viele sensible Daten und Aktionen übers Internet abgewickelt werden (z.B. Banktransaktionen oder zukünftig auch Wahlen), ist es wichtig, dass beide, Sender und Empfänger, vertraulich Daten austauschen können. Die erste Verschlüsselung, in der keine Geheimzeichen benutzt wurden, ist von Cäsar bekannt. Bis 1977 wurden Verfahren benutzt, die stets gleich aufgebaut waren: Der Sender codierte seinen Text mit einem geheimen Schlüssel, der Empfänger musste diesen Text mit dem gleichen Schlüssel wieder decodieren. Das Problem hierbei ist, dass der Schlüssel nicht nur dem Empfänger bekannt ist, sondern auch dem Codierer (wie soll man eigentlich den geheimen Schlüssel dem Gegenüber mitteilen?).

Eine andere Methode ist mit einem Briefkasten zu vergleichen: Alle Menschen können eine Nachricht in den Briefkasten werfen, aber nur der Briefkastenbesitzer kann die Nachrichten lesen, da er den Schlüssel zum Briefkasten hat. Man bräuchte also einen Schlüssel, der allen bekannt ist und nur zum Verschlüsseln benutzt werden kann, und einen anderen Schlüssel, der die Nachricht entschlüsselt. Das Problem hierbei ist, dass es nicht möglich sein darf, vom öffentlichen Schlüssel und von der verschlüsselten Nachricht auf den privaten Schlüssel schließen zu können. Ein derartiges Verfahren wurde 1977 von den Amerikanern Diffie und Hellman veröffentlicht, der sogenannte DES-Algorithmus (DES: Data Encryption Standard). Er wurde zwanzig Jahre lang vor allem im Bankenbereich flächendeckend benutzt, bis er 1998 gebrochen wurde. Inzwischen gibt es einen neuen Algorithmus. Er wurde von Ronald Rivest, Adi Shamir, und Leonard Adleman entwickelt. Die Anfangsbuchstaben der Nachnamen ergeben den Namen des Verfahrens: RSA. Er ist in allen möglichen Bereichen (z.B. im Internet) zum De-facto-Standard geworden. All diese Verfahren basieren auf Primzahlen. Primzahlen sind Zahlen, die nur durch sich selbst oder eins geteilt werden können. Zum Beispiel ist 27 keine Primzahl, da sie durch 9 und 3 teilbar ist. 31 jedoch kann man nicht durch ein Produkt zweier oder mehr Zahlen darstellen.

Wenn man nun zwei sehr lange Primzahlen multipliziert, bekommt man eine Zahl, die Teil des öffentlichen Schlüssels ist. Auch der private Schlüssel wird damit berechnet, allerdings etwas anders. Nun kann man mit dem öffentlichen Schlüssel einen Text ver- aber nicht entschlüsseln. Dies kann nur der private Schlüssel. Um diesen Schlüssel mit Hilfe des öffentlichen herauszubekommen, muss man das Produkt aus den beiden Primzahlen wieder in die beiden Primzahlen zurück umwandeln. Hierzu gibt es aber keinen schnellen Algorithmus. Wenn man also extrem lange Primzahlen benutzt, kann es auch mit den schnellsten Computern Jahre dauern bis die Primzahlen berechnet werden.

Bibliographie

Beutelspacher, A.: Pasta all’infinito: Meine italienische Reise in die Mathematik, 3. Aufl., Verlag C. H. Beck oHG, München 1999
RSA Laboratories: http://www.rsasecurity.com