Wenn wir ein Hotel hätten, mit z.B. 100 Zimmern, und wir haben bereits 100 Gäste unterbringen müssen (nehmen wir vereinfacht an, es gebe nur Einzelzimmer). Wenn jetzt aber noch ein Gast kommt, was muss der eifrige Empfangschef machen? Wenn er den Gast nicht in der Abstellkammer unterbringen will, muss er ihn wieder weg schicken. Dass tut nicht nur ihm von Herzen weh sondern auch uns, da uns ein zahlender Gast entwischt ist. Damit das nicht wieder passiert, bauen wir ein Hotel für 1000 Gäste, aber auch hier haben wir wieder das gleiche Problem, der 1001. Gast muss wieder abgewiesen werden. Ziemlich schnell fällt einem auf, dass das bei jedem Hotel passiert, zumindest wenn es nur endlich viele Zimmer hat. Was aber ist mit einem Hotel mit unendlich viele Zimmer?
Hilberts Hotel hat abzählbar unendlich viele Zimmer. Das Hotel ist vollständig besetzt, kein einziges Zimmer ist mehr frei. Doch zu später Stunde kommt noch ein einzelner Gast vorbei, was macht der Empfangschef? Schickt er ihn weg? Nein, er ruft mit seinem Spezialtelefon alle Gäste auf einmal an und bittet sie, jeweils ein Zimmer weiter zu ziehen, so dass das erste Zimmer frei wird. Der neue Gast ist untergebracht.
Doch jetzt kommt ein Bus mit abzählbar unendlich vielen Insassen. Der Gast aus Zimmer n muss in Zimmer 2n umziehen. Da jeder Gast darum gebeten wird, wohnen alle alten Gäste in Zimmern mit geraden Zimmernummern. Der Businsasse auf Platz i wird die Zimmernummer 2i+1 zugeteilt. Die neuen Gäste werden also alle in ungeraden Zimmern verteilt. Damit hätten wir wieder alle untergebracht.
Was machen wir aber, wenn unendlich viele Busse mit unendlich vielen Insassen (jeweils abzählbar) untergebracht werden wollen? Da wir natürlich einen unendlich großen Parkplatz haben, können wir die Busse nebeneinander aufstellen und die Insassen dürfen sich in einer Schlange vor ihrem Bus aufreihen. Nach dem Cantorschen Ersten Diagonalverfahren können wir die neuen Gäste durchzählen und nach dem obigen Prinzip auf die Zimmer verteilen.
(Ein kleiner Zusatz: Bis jetzt war immer alles abzählbar, doch was machen wir, wenn eine Gruppe von unendlich vielen Pfadfindern kommt? Leider wuseln die Pfadfinder so durcheinander, dass wir sie nicht abzählen können, sie sind überabzählbar. Daher können wir die Abzählverfahren, die wir bis jetzt angewandt haben, vergessen. Uns bleibt nichts anderes übrig als zur höheren Mathematik greifen: Sie dürfen im Garten übernachten, sollte bei Pfadfindern ja wohl kein Problem sein.)