Wenn wir die Welt, in der wir leben, als |Rn interpretieren und versuchen, beliebige Mengen zu messen, kommt es zu einem ziemlich absurden Ergebnis, das man eigentlich gar nicht glauben kann. Folgenden Satz von Banach und Tarski aus dem Jahre 1924 will ich weiter unten vereinfacht erklären:
| Sei n≥3 und seien A und B beschränkte Teilmengen des |Rn mit nicht leerem Inneren. Dann gibt es Teilmengen C1,… Ck des |Rn und Bewegungen1) β1,… βk, so dass A die disjunkte Vereinigung der Mengen C1,… Ck ist und B die disjunkte Vereinigung der Mengen β1(C1),… βk(Ck). |
Das klingt komplizierter als es ist. Damit wir uns besser vorstellen können, was der Satz aussagt, nehmen n=3 an. Außerdem sollen A ein Fußball und B unsere Erde sein. Wobei der Fußball mit irgendetwas gefüllt sein soll, z.B. mit Beton ;-). Dann sagt der Satz aus, dass wir den Fußball in endlich viele Stücke (C1,…Ck) so zerschneiden können, dass, wenn wir sie entsprechend verschieben, drehen und spiegeln – aber nicht verformen, dehnen o.ä. (!!!) -, wir unsere Erde erhalten. Dies klingt ziemlich unglaublich, denn was hat schon Galileo Galilei (1564 – 1642) gesagt:
| „…wollten wir die Körper teilen in eine endliche Anzahl von Teilen, so ist es unzweifelhaft, daß wir sie nicht zusammensetzen könnten zu Körpern, die mehr Raum einnehmen als früher…“ |
Der Grund für dieses Paradoxon ist, dass die Mengen C1,… Ck mit Hilfe des Auswahlaxioms konstruiert werden und so kompliziert sind, dass man sie weder zeichnen noch sich überhaupt vorstellen kann. Wir sehen also, dass wir weder den mathematischen Raum und seine Darstellung als Punktmenge verstehen können, noch dürfen wir vergessen, dass eine solche Punktedarstellung nicht die physikalische Wirklichkeit darstellt.
Lässt man abzählbar viele Unterteilungen zu, so gilt die Aussage sogar für n≥1 und auch für unbeschränkte Mengen A und B mit nicht leerem Inneren.
Einen Beweis für einen vereinfachten Fall, bei dem nur Schulmathematik vorausgesetzt wird: aus einer Einheitskugel im |R3 mache zwei Einheitskugeln.
1)Eine Bewegung ist eine Kombination aus Verschiebung, Drehung und Spiegelung.