Unendliche Mengen

Eine Menge, die aus einer nicht endlichen Anzahl von Elementen besteht, nennt man unendlich. Die bekanntesten unendlichen Mengen sind die natürlichen Zahlen (|N, {1,2,3…}), die ganzen Zahlen (|Z, {0,1,-1,2,-2,3,-3…}), die rationalen Zahlen (|Q, alle Zahlen, die man als einen Bruch darstellen kann), die reellen Zahlen (|R, dazu gehört z.B. pi) und die komplexen Zahlen (|C=|R x i|R, wobei i²=-1).

Bei Mengen stellt sich die Frage, ob sie gleich “groß” (gleichmächtig) sind. Sind zwei Mengen endlich, so kann man die Elemente einfach zählen und dann vergleichen, doch bei unendlichen Mengen? Wenn man wissen will, ob der Hörsaal voll besetzt ist, zählt man nicht erst die Studenten und dann die Sitze. Man schaut, ob jeder Platz eindeutig einem Studenten zugeordnet werden kann. Anders formuliert: Es wird versucht, eine bijektive Abbildung zwischen der Menge der Plätze und der der Studenten zu finden. Genauso wird es bei unendlichen Mengen gemacht. Eine zu |N gleichmächtige Menge wird abzählbar genannt, d.h., wenn eine bijektive Abbildung zwischen |N und der Menge exisitiert, heißt die Menge abzählbar ansonsten überabzählbar.

Das Ganze ist größer als sein Teil? – Die Funktion f:|N->|N mit f(n):=2n (jeder natürlichen Zahl wird eine geraden Zahl zugeordnet) ist bijektiv. Also ist die Menge der geraden Zahlen gleichmächtig zu der Menge der natürlichen Zahlen. Eine echte Teilmenge kann also gleichmächtig zu der Obermenge sein. Es gilt sogar die Charakterisierung: Eine Menge ist genau dann unendlich, wenn eine echte Teilmenge existiert, die gleichmächtig zu ihr ist.

Wie man schnell sieht, ist die Menge der ganzen Zahlen ebenfalls abzählbar. Doch was ist mit den rationalen Zahlen? Cantor hat gezeigt, daß die rationalen Zahlen abzählbar sind. Die rationalen Zahlen kann man nach Definition als Brüche darstellen, wobei der Zähler und Nenner aus ganzen Zahlen bestehen. Um die Abzählbarkeit der rationalen Zahlen zu zeigen, langt es, die Abzählbarkeit der positiven rationalen Zahlen zu zeigen. Nach dem Erstes Diagonalverfahren von Cantor werden die Brüche folgerndermaßen in einem Quadrat angeordnet

Somit haben wir eine bijektive Abbildung erhalten, da wir die Brüche durchzählen können: 1/1 |-> 1, 2/1 |-> 2, 1/2 |-> 3, 2/2 |-> 4, 3/1 |-> 5… (Zwar werden einige Zahlen doppelt dargestellt (1/1=2/2=3/3), womit wir eigentlich nur gezeigt haben, dass die Mächtigkeit der natürlichen Zahlen größer als die der rationalen Zahlen ist oder gleich. Da die Umkehrung trivialerweise gilt, folgt die Behauptung).

Mit dem Zweiten Diagonalverfahren von Cantor kann man nachweisen, daß die Menge der reellen Zahlen überabzählbar sind, und zwar auf dem offenen Intervall (0,1) (manche schreiben auch ]0,1[): Jede reelle Zahl im Intervall (0,1) läßt sich als 0,p₁p₂ p₃ p₄… darstellen. Angenommen, die Menge der reellen Zahlen im Intervall (0,1) wäre abzählbar, dann ließen sich die Zahlen so darstellen:

a₁ = 0 , p₁₁ p₁₂ p₁₃ p₁₄ …
a₂ = 0 , p₂₁ p₂₂ p₂₃ p₂₄ …
a₃ = 0 , p₃₁ p₃₂ p₃₃ p₃₄ …
a₄ = 0 , p₄₁ p₄₂ p₄₃ p₄₄ …
…

Wählt man sich eine Zahl d:=0,d₁ d₂ d₃ d₄…, wobei d_i stets ungleich p_ii für alle i ist, so hat man eine Zahl, die in (0,1) liegt, aber nicht zur Folge gehört. Dies ist ein Widerspruch zu unserer Annahme und damit sind die reellen Zahlen überabzählbar.

Da die reellen Zahlen eine Teilmenge der komplexen Zahlen sind, ist |C überabzählbar.